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- Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 11
- Vol. 1 · Cap. I — Noções de lógicaExercícios 1 a 10 do FME vol. 110
- 2.11. Quais das sentenças abaixo são proposições?
- 2.22. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições?
- 2.33. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas
- 2.44. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo
- 2.55. Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor de cada proposição abaixo
- 2.66. Sendo a proposição p → (r ou s) falsa e a proposição (q ou s) ↔ p verdadeira, classifique em verdadeira ou falsa as afirmações p, q, r e s
- 2.77. Verifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalências abaixo
- 2.88. Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores
- 2.99. Diga qual é a negação de cada proposição abaixo
- 2.1010. Classifique em V ou F as negações construídas no exercício anterior
- Vol. 1 · Cap. II — ConjuntosExercícios 11 a 61 do FME vol. 151
- 3.111. Dê os elementos dos seguintes conjuntos
- 3.212. Descreva por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes
- 3.313. Escreva com símbolos os conjuntos indicados
- 3.414. Descreva por meio de uma propriedade dos elementos os conjuntos indicados
- 3.515. Quais dos conjuntos abaixo são unitários?
- 3.616. Quais dos conjuntos abaixo são vazios?
- 3.717. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, escreva com símbolos e classifique as sentenças
- 3.818. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em V ou F cada sentença
- 3.919. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
- 3.1020. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo
- 3.1121. Faça um diagrama de Venn com os conjuntos A, B, C e D não vazios
- 3.1222. Construa o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d}
- 3.1323. Dados os conjuntos A, B e C, determine A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C e A ∪ B ∪ C
- 3.1424. Prove que A está contido em A ∪ B, para todo A
- 3.1525. Classifique em V ou F envolvendo A, B e C conjuntos quaisquer
- 3.1626. Determine a reunião dos círculos de raio r com um ponto comum
- 3.1727. Determine a reunião das retas de um plano paralelas a uma reta dada
- 3.1828. Dados os conjuntos A, B e C, descreva A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C e A ∪ B ∪ C
- 3.1929. Prove que A ∩ B está contido em A, para todo A
- 3.2030. Classifique em V ou F envolvendo A, B e C conjuntos quaisquer
- 3.2131. Considere os conjuntos K, P, L, R e Q relativos aos quadriláteros
- 3.2232. Dados os conjuntos A, B e C, determine o conjunto X tal que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅
- 3.2333. Determine o conjunto X que satisfaz as condições dadas
- 3.2434. Sabe-se que A ∪ B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C são dados; determine C
- 3.2535. Determine o número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4}
- 3.2636. Assinale no diagrama os conjuntos indicados
- 3.2737. Sejam os conjuntos A, B e C; qual é o número máximo de elementos de (A ∪ B) ∩ C?
- 3.2838. Sejam os conjuntos A, B e C; determine as operações indicadas
- 3.2939. Prove que A ∩ B está contido em A, para todo A
- 3.3040. Classifique em V ou F as sentenças envolvendo A e B
- 3.3141. Dados os conjuntos A, B e C, obtenha um conjunto X tal que X ⊂ A e A − X = B ∩ C
- 3.3242. Assinale no diagrama ao lado os conjuntos indicados
- 3.3343. Prove que A − B = A ∩ complementar de B
- 3.3444. Classifique em V ou F as seguintes sentenças
- 3.3545. Sendo E = {1, 2, …, 8} e p(y): y − 1 ≤ 6, determine F
- 3.3646. Descreva os elementos dos conjuntos abaixo
- 3.3747. Seja E = {a, {a}}; diga quais proposições são verdadeiras
- 3.3848. Prove que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
- 3.3949. Dados A e B com n(A) = 4, n(B) = 5 e n(A ∩ B) = 3, determine o número de subconjuntos de A ∪ B
- 3.4050. Estabeleça uma fórmula para calcular n(A ∪ B ∪ C)
- 3.4151. Determine o número de elementos de A ∩ B, sendo A e B conjuntos dados
- 3.4252. Em uma escola, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas; quantos estudam inglês ou francês?
- 3.4353. Determine o conjunto complementar de P ∩ (P ∪ Q)
- 3.4454. Considerando os conjuntos A, B e C representados, calcule as operações indicadas
- 3.4555. Sabendo que A e B são subconjuntos de U, quantos elementos tem A? E B?
- 3.4656. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C
- 3.4757. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seis condições dadas
- 3.4858. Em certa comunidade há indivíduos de três etnias: branca, negra e amarela
- 3.4959. De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência médica
- 3.5060. Determine a diferença simétrica de A com B
- 3.5161. Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, B, C e D não vazios
- Vol. 1 · Cap. III — Conjuntos numéricosExercícios 62 a 116 do FME vol. 155
- 4.162. Seja H o conjunto dos naturais entre 2 e 40, múltiplos de 2 e não múltiplos de 3; qual o número de elementos de H?
- 4.263. Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares
- 4.364. Sendo A = {n | n = 2p+1 e p ∈ B}, qual é a condição sobre B para que n seja ímpar?
- 4.465. Quais das proposições abaixo, envolvendo números naturais, são verdadeiras?
- 4.566. Descreva os seguintes conjuntos: D(6), D(18), D(24) ∩ D(16), M(4), M(10) e M(9) ∩ M(6)
- 4.667. Quais dos seguintes elementos de ℤ não são primos: 12, 13, 0, 5, 31, 1, 2, 4, 1, 49 e 53?
- 4.768. Sendo a e b dois números inteiros, responda sobre divisores e múltiplos comuns
- 4.869. Determine os seguintes mdc e mmc de números inteiros
- 4.970. Quais das seguintes proposições, envolvendo números racionais, são verdadeiras?
- 4.1071. Coloque na forma de fração irredutível os seguintes números racionais
- 4.1172. Coloque em ordem crescente os seguintes números racionais
- 4.1273. Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 < r2, existe um racional r entre eles
- 4.1374. Represente sobre uma reta orientada os seguintes números racionais
- 4.1475. Calcule o valor de expressões envolvendo dízimas periódicas
- 4.1576. Na minha calculadora, a tecla da divisão não funciona; como dividir por 40?
- 4.1677. Considere o número dado por uma soma infinita; se ele for racional, encontre sua forma decimal
- 4.1778. Suponha que um país A tem renda per capita de 20000 dólares e população de 50 milhões
- 4.1879. A pressão P e o volume V de um gás perfeito satisfazem a Lei de Boyle; se a pressão aumenta 25%, quanto diminui o volume?
- 4.1980. Quais das proposições abaixo, envolvendo números irracionais, são verdadeiras?
- 4.2081. Prove que, se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b√p = c + d√p, então a=c e b=d
- 4.2182. Mostre que √(4 + 2√3) = 1 + √3
- 4.2283. Mostre que existem a e b racionais tais que √(18 − 8√2) = a + b√2
- 4.2384. Dados x e y reais positivos, mostre que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica
- 4.2485. Mostre que existe um irracional a tal que a⁴ e a⁶ são racionais
- 4.2586. Prove que √2 é irracional
- 4.2687. Prove que, dado um racional a/b e um natural n ≥ 2, nem sempre a raiz n-ésima é racional
- 4.2788. Dentre os reais -1, 0, 1, 2 e 3, qual não pode ser escrito na forma r = x + 1/x?
- 4.2889. Represente sobre a reta real os seguintes conjuntos definidos por desigualdades
- 4.2990. Descreva, na notação de intervalos, os seguintes conjuntos
- 4.3091. Utilizando a representação gráfica de intervalos, determine A ∪ B e A ∩ B
- 4.3192. Descreva os seguintes conjuntos resultantes de operações entre intervalos
- 4.3293. Determine os seguintes conjuntos resultantes de operações entre intervalos
- 4.3394. Sendo A = [0, 5[ e B = ]1, 3[, determine o complementar de B em relação a A
- 4.3495. Sendo A = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x < 3} e B = {x ∈ ℝ | -2 < x ≤ 5}, calcule A ∩ B
- 4.3596. Sejam A = (−∞, 2] e B = [0, +∞) intervalos de números reais; determine A ∩ B
- 4.3697. Determine a interseção dos conjuntos dados por condições sobre números reais
- 4.3798. Prove por indução finita que 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
- 4.3899. Prove por indução finita que 2+5+8+…+(2+3n) = (n+1)(4+3n)/2
- 4.39100. Prove por indução finita que 2⁰+2¹+…+2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ−1
- 4.40101. Prove por indução finita que 1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6
- 4.41102. Prove por indução finita que 1³+2³+3³+…+n³ = [n(n+1)/2]²
- 4.42103. Prove por indução finita que 8 divide (3²ⁿ − 1)
- 4.43104. Prove por indução finita que 6 divide n(n+1)(n+2)
- 4.44105. Prove por indução finita que 2 divide (n² + n)
- 4.45106. Prove por indução finita que 3 divide (n³ + 2n)
- 4.46107. Prove por indução finita a fórmula do produto (1−1/2)(1−1/3)…(1−1/n) = 1/n
- 4.47108. Prove por indução finita que 1/(1·2)+1/(2·3)+…+1/[n(n+1)] = n/(n+1)
- 4.48109. Prove por indução finita que 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
- 4.49110. Prove por indução finita que 2n ≥ n+1
- 4.50111. Prove por indução finita que 2ⁿ ≥ n
- 4.51112. Prove por indução finita a desigualdade 1³+2³+3³+…+n³ ≤ n⁴/4
- 4.52113. Prove por indução finita que (1+a)ⁿ ≥ 1+na
- 4.53114. Prove por indução a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo
- 4.54115. Prove por indução a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo
- 4.55116. Se A é um conjunto finito com n elementos, prove que P(A) tem 2ⁿ elementos
- Vol. 1 · Cap. IV — RelaçõesExercícios 117 a 141 do FME vol. 125
- 5.1117. Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo
- 5.2118. Assinale no plano cartesiano os pontos A(2, -3), B(0, -4), C(-4, -5), D(-1, 0), E(0, 5), F(5, 4), G(3, 0), H(-3, 2), I(1/2, 5/2)
- 5.3119. Dados A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos
- 5.4120. Dados A = [1, 3], B = [-2, 2] e C = ]-4, 1], represente graficamente os seguintes produtos
- 5.5121. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 4}, represente graficamente A × B, B × A e (A × B) ∪ (B × A)
- 5.6122. Sejam os conjuntos A, B e C tais que A ⊂ B ⊂ C. Estabeleça as relações de inclusão entre os produtos cartesianos
- 5.7123. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} ⊂ A² e n(A²) = 9, represente pelos elementos o conjunto A²
- 5.8124. Se {(1, 2), (3, 0)} ⊂ A² e n(A²) = 16, represente A² pelos seus elementos
- 5.9125. Considerando A ⊂ B, {(0, 5), (-1, 2), (2, -1)} ⊂ A × B e n(A × B) = 12, represente A × B pelos seus elementos
- 5.10126. Sejam F = {1, 2, 3, 4} e G = {3, 4, 7}. Determine o número de elementos de F × G
- 5.11127. Dados A = {1, 3/2} ∪ {x ∈ ℝ | 2 < x < 3} e B = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 2}, represente graficamente A × B
- 5.12128. Sejam A = {x ∈ ℤ | -1 < x ≤ 2} e B = {3, 4, 5}. Qual é o número de elementos do conjunto D = {(x, y) ∈ A × B | y ≥ x + 4}?
- 5.13129. Enumere os pares ordenados e faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}
- 5.14130. Dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares e construa o gráfico da relação R = {(x, y) ∈ A² | mdc(x, y) = 2}
- 5.15131. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construa o gráfico cartesiano da relação R em A definida por: xRy ⟺ x e y são primos entre si
- 5.16132. Dado A = {m ∈ ℤ | -7 ≤ m ≤ 7}, construa o gráfico cartesiano da relação R em A definida por: xRy ⟺ x² + y² = 25
- 5.17133. Estabeleça o domínio e a imagem das seguintes relações
- 5.18134. Estabeleça o domínio e a imagem das relações binárias do exercício 129
- 5.19135. Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R a relação de A em B definida por xRy ⟺ x = y²
- 5.20136. Qual é o domínio da relação f = {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | y = 2/(4 – x²)}?
- 5.21137. Se R é a relação binária de A = [1, 6] em B = [1, 4] definida por xRy ⟺ x = 2y, forneça a representação cartesiana e o domínio e a imagem de R
- 5.22138. Se R e S são as relações de A = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 5} em B = {y ∈ ℤ | -2 ≤ y ≤ 3} definidas por xRy ⟺ 2 divide (x – y) e xSy ⟺ (x – 1)² = (y – 2)², forneça as representações, os domínios e imagens, e R ∩ S
- 5.23139. Enumere os elementos de R⁻¹, relação inversa de R, nos seguintes casos
- 5.24140. Enumere os elementos e esboce os gráficos de R e R⁻¹, relações binárias em A = {x ∈ ℕ | x ≤ 10}
- 5.25141. Dados A = [1, 6] e B = [2, 10], dê o gráfico cartesiano das relações R, S, T, V e das respectivas relações inversas
- Vol. 1 · Cap. V — Introdução às funçõesExercícios 142 a 168 do FME vol. 124
- 6.1142. Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Justifique
- 6.2143. Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {0, 1, 2} em B = {-1, 0, 1, 2}?
- 6.3144. Quais das relações de ℝ em ℝ, cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justifique
- 6.4145. Qual é a notação das seguintes funções de ℝ em ℝ?
- 6.5146. Qual é a notação das seguintes funções?
- 6.6147. Seja f a função de ℤ em ℤ definida por f(x) = 3x – 2. Calcule
- 6.7148. Seja f a função de ℝ em ℝ definida por f(x) = x² – 3x + 4. Calcule
- 6.8149. Seja P o único número natural que é primo e par. Sendo f(x) = (0,25)^(-x) + x – 1, determine o valor de f(P)
- 6.9150. Seja f de ℝ em ℝ definida por f(x) = 1 se x é racional e f(x) = x + 1 se x é irracional. Calcule
- 6.10151. Seja f de ℝ em ℝ definida por f(x) = (2x – 3)/5. Qual é o elemento do domínio que tem -3/4 como imagem?
- 6.11152. Seja f de ℝ – {1} em ℝ definida por f(x) = (3x + 2)/(x – 1). Qual é o elemento do domínio que tem imagem 2?
- 6.12153. Quais são os valores do domínio da função real definida por f(x) = x² – 5x + 9 que produzem imagem igual a 3?
- 6.13154. A função f de ℝ em ℝ é tal que, para todo x real, f(3x) = 3f(x). Se f(9) = 45, calcule f(1)
- 6.14155. A função f: ℝ → ℝ tem a propriedade f(m · x) = m · f(x) para m real e x real. Calcule f(0)
- 6.15156. É dada uma função real tal que f(x)·f(y) = f(x + y), f(1) = 2 e f(√2) = 4. Calcule f(3 + √2)
- 6.16157. Seja f definida nos naturais tal que f(n + 1) = 2f(n) + 3. Supondo f(0) = 0, descubra a fórmula geral e prove por indução
- 6.17158. Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo
- 6.18161. Dê o domínio das seguintes funções reais
- 6.19162. Sendo x ≥ 4, determine o conjunto imagem da função y = √x + √(x – 4)
- 6.20164. Sejam f, g e h de ℝ em ℝ definidas por f(x) = x³, g(y) = y³ e h(z) = z³. Quais delas são iguais entre si?
- 6.21165. As funções f de ℝ em ℝ definida por f(x) = √(x²) e g de ℝ em ℝ definida por g(x) = x são iguais? Justifique
- 6.22166. As funções f e g cujas leis são f(x) = (x – 1)/(x + 1) e g(x) = (√x – 1)/(√x + 1) podem ser iguais? Justifique
- 6.23167. As funções f e g de A = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 0 ou x > 1} em ℝ, definidas por f(x) = (x+1)/(x²-x) e g(x) = √(x+1)/√(x²-x), são iguais? Justifique
- 6.24168. As funções f: ℝ → ℝ com f(x) = (x² – 1)/(x – 1) e g: ℝ – {1} → ℝ com g(x) = x + 1 são iguais? Justifique
- Vol. 1 · Cap. VI — Função constante e função afimExercícios 169 a 224 do FME vol. 112
- 7.1169. Construa o gráfico das funções de ℝ em ℝ: y = 2, y = √2, y = -3, y = 0
- 7.2170. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de ℝ em ℝ: y = x, y = 2x, y = 3x, y = x/2
- 7.3171. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de ℝ em ℝ: y = -x, y = -2x, y = -3x, y = -x/2
- 7.4172. Construa o gráfico cartesiano das funções de ℝ em ℝ: y = 2x – 1, y = x + 2, y = 3x + 2, y = (2x-3)/2, y = -3x – 4, y = -x + 1, y = -2x + 3, y = (4-3x)/2
- 7.5173. Resolva analítica e graficamente o sistema de equações: x – y = -3 e 2x + 3y = 4
- 7.6174. Resolva analítica e graficamente os sistemas de equações
- 7.7175. Resolva os sistemas de equações com incógnitas nos denominadores
- 7.8176. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2)
- 7.9177. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos: (2,3) e (3,5); (1,-1) e (-1,2); (3,-2) e (2,-3); (1,2) e (2,2)
- 7.10178. De uma caixa com bolas brancas e pretas retiraram-se 15 brancas, ficando 1 branca para 2 pretas; depois retiraram-se 10 pretas, restando 4 brancas para 3 pretas. Determine quantas bolas havia inicialmente
- 7.11179. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3)
- 7.12180. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2
- Vol. 1 · Cap. VII — Funções quadráticasExercícios 225 a 353 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Cap. VIII — Função modularExercícios 354 a 406 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Cap. IX — Outras funções elementaresExercícios 407 a 420 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Cap. X — Função composta e função inversaExercícios 421 a 512 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Ap. I — Equações irracionaisExercícios 513 a 552 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Ap. II — Inequações irracionaisExercícios 553 a 568 do FME vol. 10
Conteúdo
98. Prove por indução finita que 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
Enunciado. Prove por indução finita que
![\[1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fae648d3a66287dd1cee3df230603d8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como funciona a indução. São sempre duas etapas, e nenhuma das duas pode faltar:
1ª) mostrar que a fórmula vale no primeiro caso;
2ª) supor que ela vale para um 
qualquer e, a partir disso, provar que vale para 
.
Se as duas valem, a fórmula se propaga por todos os naturais como uma fileira de dominós.
1ª etapa — a base. Para 
, o lado esquerdo é só o próprio 1. O lado direito:
![\[\frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-786ae37f41f06f0ebf616d44c3c7d804_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Os dois lados batem, então 
é verdadeira.
2ª etapa — a hipótese de indução. Admitimos que a fórmula valha para 
:
![\[P(k): \quad 1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-029ccde0a43ace229d89782361a1b36b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e queremos provar que ela vale para 
, isto é:
![\[1 + 2 + 3 + \ldots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55fe9e0958e6c73ee118eb68329368ad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O passo. Começamos pelo lado esquerdo. Os primeiros termos são exatamente o que a hipótese descreve, então podemos trocar por 
:
![\[\underbrace{1 + 2 + \ldots + k}_{P(k)} + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d989eedf4f12f33cb34ed87bb3069281_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Colocando 
em evidência:
![\[= (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = (k+1) \cdot \frac{k+2}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3770632c2ec328eabe89e2f8ac2b0912_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
que é exatamente o que queríamos. Portanto a fórmula vale para todo 
. 
O erro mais comum na 2ª etapa é mexer nos dois lados ao mesmo tempo, como se a igualdade já estivesse provada. O correto é partir de um lado e chegar no outro usando a hipótese — aqui, saímos da soma e chegamos na fórmula.