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Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 1
1
- 1.1
  Exercícios Resolvidos Volume 1 – Conjuntos e Funções
Vol. 1 · Cap. I — Noções de lógica
Exercícios 1 a 10 do FME vol. 1
10
Vol. 1 · Cap. II — Conjuntos
Exercícios 11 a 61 do FME vol. 1
51
Vol. 1 · Cap. III — Conjuntos numéricos
Exercícios 62 a 116 do FME vol. 1
55
Vol. 1 · Cap. IV — Relações
Exercícios 117 a 141 do FME vol. 1
25
Vol. 1 · Cap. V — Introdução às funções
Exercícios 142 a 168 do FME vol. 1
24
Vol. 1 · Cap. VI — Função constante e função afim
Exercícios 169 a 224 do FME vol. 1
12
Vol. 1 · Cap. VII — Funções quadráticas
Exercícios 225 a 353 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. VIII — Função modular
Exercícios 354 a 406 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. IX — Outras funções elementares
Exercícios 407 a 420 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. X — Função composta e função inversa
Exercícios 421 a 512 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. I — Equações irracionais
Exercícios 513 a 552 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. II — Inequações irracionais
Exercícios 553 a 568 do FME vol. 1
0

Resolução da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar

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Conteúdo

167. As funções f e g de A = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 0 ou x > 1} em ℝ, definidas por f(x) = (x+1)/(x²-x) e g(x) = √(x+1)/√(x²-x), são iguais? Justifique

Não são iguais. E a razão é mais sutil que nos exercícios anteriores, porque aqui os domínios até combinam — o que muda é a lei.

Primeiro, por que o conjunto $A$ é esse. Para a $g$ existir, precisamos de $x + 1 \geq 0$ e de $x^2 - x > 0$ . Fatorando, $x^2 - x = x(x-1)$ , que é positivo quando $x < 0$ ou $x > 1$ . Cruzando com $x \geq -1$ , sobra exatamente o $A$ do enunciado.

(Um detalhe honesto: em $x = 0$ o denominador zera nas duas funções, então nenhuma das duas está definida ali — o $A$ do enunciado é ligeiramente generoso nesse ponto.)

Agora a comparação. Repara que a $g$ pode ser reescrita. Como $x+1 \geq 0$ e $x^2 - x > 0$ , vale a propriedade $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ :

$g(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2-x}} = \sqrt{\frac{x+1}{x^2-x}} = \sqrt{f(x)}$

Ou seja, $g$ é a raiz quadrada de $f$ . E raiz de um número só é igual ao próprio número em dois casos: quando ele vale 0 ou 1.

Contraexemplo concreto. Tomando $x = -\frac{1}{2}$ , que está em $A$ :

$f\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$

$g\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0{,}816$

Como $\frac{2}{3} \approx 0{,}667 \neq 0{,}816$ , as imagens diferem. Logo $f \neq g$ .

As duas só coincidem nos pontos em que $f(x)$ vale 0 ou 1 — o que acontece em $x = -1$ e em $x = 1 + \sqrt{2}$ . Coincidir em alguns pontos não é ser igual: igualdade de funções exige coincidir em todos.

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167. As funções f e g de A = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 0 ou x > 1} em ℝ, definidas por f(x) = (x+1)/(x²-x) e g(x) = √(x+1)/√(x²-x), são iguais? Justifique

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