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- Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 11
- Vol. 1 · Cap. I — Noções de lógicaExercícios 1 a 10 do FME vol. 110
- 2.11. Quais das sentenças abaixo são proposições?
- 2.22. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições?
- 2.33. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas
- 2.44. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo
- 2.55. Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor de cada proposição abaixo
- 2.66. Sendo a proposição p → (r ou s) falsa e a proposição (q ou s) ↔ p verdadeira, classifique em verdadeira ou falsa as afirmações p, q, r e s
- 2.77. Verifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalências abaixo
- 2.88. Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores
- 2.99. Diga qual é a negação de cada proposição abaixo
- 2.1010. Classifique em V ou F as negações construídas no exercício anterior
- Vol. 1 · Cap. II — ConjuntosExercícios 11 a 61 do FME vol. 151
- 3.111. Dê os elementos dos seguintes conjuntos
- 3.212. Descreva por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes
- 3.313. Escreva com símbolos os conjuntos indicados
- 3.414. Descreva por meio de uma propriedade dos elementos os conjuntos indicados
- 3.515. Quais dos conjuntos abaixo são unitários?
- 3.616. Quais dos conjuntos abaixo são vazios?
- 3.717. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, escreva com símbolos e classifique as sentenças
- 3.818. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em V ou F cada sentença
- 3.919. Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
- 3.1020. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo
- 3.1121. Faça um diagrama de Venn com os conjuntos A, B, C e D não vazios
- 3.1222. Construa o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d}
- 3.1323. Dados os conjuntos A, B e C, determine A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C e A ∪ B ∪ C
- 3.1424. Prove que A está contido em A ∪ B, para todo A
- 3.1525. Classifique em V ou F envolvendo A, B e C conjuntos quaisquer
- 3.1626. Determine a reunião dos círculos de raio r com um ponto comum
- 3.1727. Determine a reunião das retas de um plano paralelas a uma reta dada
- 3.1828. Dados os conjuntos A, B e C, descreva A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C e A ∪ B ∪ C
- 3.1929. Prove que A ∩ B está contido em A, para todo A
- 3.2030. Classifique em V ou F envolvendo A, B e C conjuntos quaisquer
- 3.2131. Considere os conjuntos K, P, L, R e Q relativos aos quadriláteros
- 3.2232. Dados os conjuntos A, B e C, determine o conjunto X tal que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅
- 3.2333. Determine o conjunto X que satisfaz as condições dadas
- 3.2434. Sabe-se que A ∪ B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C são dados; determine C
- 3.2535. Determine o número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4}
- 3.2636. Assinale no diagrama os conjuntos indicados
- 3.2737. Sejam os conjuntos A, B e C; qual é o número máximo de elementos de (A ∪ B) ∩ C?
- 3.2838. Sejam os conjuntos A, B e C; determine as operações indicadas
- 3.2939. Prove que A ∩ B está contido em A, para todo A
- 3.3040. Classifique em V ou F as sentenças envolvendo A e B
- 3.3141. Dados os conjuntos A, B e C, obtenha um conjunto X tal que X ⊂ A e A − X = B ∩ C
- 3.3242. Assinale no diagrama ao lado os conjuntos indicados
- 3.3343. Prove que A − B = A ∩ complementar de B
- 3.3444. Classifique em V ou F as seguintes sentenças
- 3.3545. Sendo E = {1, 2, …, 8} e p(y): y − 1 ≤ 6, determine F
- 3.3646. Descreva os elementos dos conjuntos abaixo
- 3.3747. Seja E = {a, {a}}; diga quais proposições são verdadeiras
- 3.3848. Prove que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
- 3.3949. Dados A e B com n(A) = 4, n(B) = 5 e n(A ∩ B) = 3, determine o número de subconjuntos de A ∪ B
- 3.4050. Estabeleça uma fórmula para calcular n(A ∪ B ∪ C)
- 3.4151. Determine o número de elementos de A ∩ B, sendo A e B conjuntos dados
- 3.4252. Em uma escola, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas; quantos estudam inglês ou francês?
- 3.4353. Determine o conjunto complementar de P ∩ (P ∪ Q)
- 3.4454. Considerando os conjuntos A, B e C representados, calcule as operações indicadas
- 3.4555. Sabendo que A e B são subconjuntos de U, quantos elementos tem A? E B?
- 3.4656. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C
- 3.4757. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seis condições dadas
- 3.4858. Em certa comunidade há indivíduos de três etnias: branca, negra e amarela
- 3.4959. De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência médica
- 3.5060. Determine a diferença simétrica de A com B
- 3.5161. Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, B, C e D não vazios
- Vol. 1 · Cap. III — Conjuntos numéricosExercícios 62 a 116 do FME vol. 155
- 4.162. Seja H o conjunto dos naturais entre 2 e 40, múltiplos de 2 e não múltiplos de 3; qual o número de elementos de H?
- 4.263. Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares
- 4.364. Sendo A = {n | n = 2p+1 e p ∈ B}, qual é a condição sobre B para que n seja ímpar?
- 4.465. Quais das proposições abaixo, envolvendo números naturais, são verdadeiras?
- 4.566. Descreva os seguintes conjuntos: D(6), D(18), D(24) ∩ D(16), M(4), M(10) e M(9) ∩ M(6)
- 4.667. Quais dos seguintes elementos de ℤ não são primos: 12, 13, 0, 5, 31, 1, 2, 4, 1, 49 e 53?
- 4.768. Sendo a e b dois números inteiros, responda sobre divisores e múltiplos comuns
- 4.869. Determine os seguintes mdc e mmc de números inteiros
- 4.970. Quais das seguintes proposições, envolvendo números racionais, são verdadeiras?
- 4.1071. Coloque na forma de fração irredutível os seguintes números racionais
- 4.1172. Coloque em ordem crescente os seguintes números racionais
- 4.1273. Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 < r2, existe um racional r entre eles
- 4.1374. Represente sobre uma reta orientada os seguintes números racionais
- 4.1475. Calcule o valor de expressões envolvendo dízimas periódicas
- 4.1576. Na minha calculadora, a tecla da divisão não funciona; como dividir por 40?
- 4.1677. Considere o número dado por uma soma infinita; se ele for racional, encontre sua forma decimal
- 4.1778. Suponha que um país A tem renda per capita de 20000 dólares e população de 50 milhões
- 4.1879. A pressão P e o volume V de um gás perfeito satisfazem a Lei de Boyle; se a pressão aumenta 25%, quanto diminui o volume?
- 4.1980. Quais das proposições abaixo, envolvendo números irracionais, são verdadeiras?
- 4.2081. Prove que, se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b√p = c + d√p, então a=c e b=d
- 4.2182. Mostre que √(4 + 2√3) = 1 + √3
- 4.2283. Mostre que existem a e b racionais tais que √(18 − 8√2) = a + b√2
- 4.2384. Dados x e y reais positivos, mostre que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica
- 4.2485. Mostre que existe um irracional a tal que a⁴ e a⁶ são racionais
- 4.2586. Prove que √2 é irracional
- 4.2687. Prove que, dado um racional a/b e um natural n ≥ 2, nem sempre a raiz n-ésima é racional
- 4.2788. Dentre os reais -1, 0, 1, 2 e 3, qual não pode ser escrito na forma r = x + 1/x?
- 4.2889. Represente sobre a reta real os seguintes conjuntos definidos por desigualdades
- 4.2990. Descreva, na notação de intervalos, os seguintes conjuntos
- 4.3091. Utilizando a representação gráfica de intervalos, determine A ∪ B e A ∩ B
- 4.3192. Descreva os seguintes conjuntos resultantes de operações entre intervalos
- 4.3293. Determine os seguintes conjuntos resultantes de operações entre intervalos
- 4.3394. Sendo A = [0, 5[ e B = ]1, 3[, determine o complementar de B em relação a A
- 4.3495. Sendo A = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x < 3} e B = {x ∈ ℝ | -2 < x ≤ 5}, calcule A ∩ B
- 4.3596. Sejam A = (−∞, 2] e B = [0, +∞) intervalos de números reais; determine A ∩ B
- 4.3697. Determine a interseção dos conjuntos dados por condições sobre números reais
- 4.3798. Prove por indução finita que 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
- 4.3899. Prove por indução finita que 2+5+8+…+(2+3n) = (n+1)(4+3n)/2
- 4.39100. Prove por indução finita que 2⁰+2¹+…+2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ−1
- 4.40101. Prove por indução finita que 1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6
- 4.41102. Prove por indução finita que 1³+2³+3³+…+n³ = [n(n+1)/2]²
- 4.42103. Prove por indução finita que 8 divide (3²ⁿ − 1)
- 4.43104. Prove por indução finita que 6 divide n(n+1)(n+2)
- 4.44105. Prove por indução finita que 2 divide (n² + n)
- 4.45106. Prove por indução finita que 3 divide (n³ + 2n)
- 4.46107. Prove por indução finita a fórmula do produto (1−1/2)(1−1/3)…(1−1/n) = 1/n
- 4.47108. Prove por indução finita que 1/(1·2)+1/(2·3)+…+1/[n(n+1)] = n/(n+1)
- 4.48109. Prove por indução finita que 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
- 4.49110. Prove por indução finita que 2n ≥ n+1
- 4.50111. Prove por indução finita que 2ⁿ ≥ n
- 4.51112. Prove por indução finita a desigualdade 1³+2³+3³+…+n³ ≤ n⁴/4
- 4.52113. Prove por indução finita que (1+a)ⁿ ≥ 1+na
- 4.53114. Prove por indução a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo
- 4.54115. Prove por indução a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo
- 4.55116. Se A é um conjunto finito com n elementos, prove que P(A) tem 2ⁿ elementos
- Vol. 1 · Cap. IV — RelaçõesExercícios 117 a 141 do FME vol. 125
- 5.1117. Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo
- 5.2118. Assinale no plano cartesiano os pontos A(2, -3), B(0, -4), C(-4, -5), D(-1, 0), E(0, 5), F(5, 4), G(3, 0), H(-3, 2), I(1/2, 5/2)
- 5.3119. Dados A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos
- 5.4120. Dados A = [1, 3], B = [-2, 2] e C = ]-4, 1], represente graficamente os seguintes produtos
- 5.5121. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 4}, represente graficamente A × B, B × A e (A × B) ∪ (B × A)
- 5.6122. Sejam os conjuntos A, B e C tais que A ⊂ B ⊂ C. Estabeleça as relações de inclusão entre os produtos cartesianos
- 5.7123. Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} ⊂ A² e n(A²) = 9, represente pelos elementos o conjunto A²
- 5.8124. Se {(1, 2), (3, 0)} ⊂ A² e n(A²) = 16, represente A² pelos seus elementos
- 5.9125. Considerando A ⊂ B, {(0, 5), (-1, 2), (2, -1)} ⊂ A × B e n(A × B) = 12, represente A × B pelos seus elementos
- 5.10126. Sejam F = {1, 2, 3, 4} e G = {3, 4, 7}. Determine o número de elementos de F × G
- 5.11127. Dados A = {1, 3/2} ∪ {x ∈ ℝ | 2 < x < 3} e B = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 2}, represente graficamente A × B
- 5.12128. Sejam A = {x ∈ ℤ | -1 < x ≤ 2} e B = {3, 4, 5}. Qual é o número de elementos do conjunto D = {(x, y) ∈ A × B | y ≥ x + 4}?
- 5.13129. Enumere os pares ordenados e faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}
- 5.14130. Dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares e construa o gráfico da relação R = {(x, y) ∈ A² | mdc(x, y) = 2}
- 5.15131. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construa o gráfico cartesiano da relação R em A definida por: xRy ⟺ x e y são primos entre si
- 5.16132. Dado A = {m ∈ ℤ | -7 ≤ m ≤ 7}, construa o gráfico cartesiano da relação R em A definida por: xRy ⟺ x² + y² = 25
- 5.17133. Estabeleça o domínio e a imagem das seguintes relações
- 5.18134. Estabeleça o domínio e a imagem das relações binárias do exercício 129
- 5.19135. Sejam A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R a relação de A em B definida por xRy ⟺ x = y²
- 5.20136. Qual é o domínio da relação f = {(x, y) ∈ ℝ × ℝ | y = 2/(4 – x²)}?
- 5.21137. Se R é a relação binária de A = [1, 6] em B = [1, 4] definida por xRy ⟺ x = 2y, forneça a representação cartesiana e o domínio e a imagem de R
- 5.22138. Se R e S são as relações de A = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 5} em B = {y ∈ ℤ | -2 ≤ y ≤ 3} definidas por xRy ⟺ 2 divide (x – y) e xSy ⟺ (x – 1)² = (y – 2)², forneça as representações, os domínios e imagens, e R ∩ S
- 5.23139. Enumere os elementos de R⁻¹, relação inversa de R, nos seguintes casos
- 5.24140. Enumere os elementos e esboce os gráficos de R e R⁻¹, relações binárias em A = {x ∈ ℕ | x ≤ 10}
- 5.25141. Dados A = [1, 6] e B = [2, 10], dê o gráfico cartesiano das relações R, S, T, V e das respectivas relações inversas
- Vol. 1 · Cap. V — Introdução às funçõesExercícios 142 a 168 do FME vol. 124
- 6.1142. Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Justifique
- 6.2143. Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {0, 1, 2} em B = {-1, 0, 1, 2}?
- 6.3144. Quais das relações de ℝ em ℝ, cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justifique
- 6.4145. Qual é a notação das seguintes funções de ℝ em ℝ?
- 6.5146. Qual é a notação das seguintes funções?
- 6.6147. Seja f a função de ℤ em ℤ definida por f(x) = 3x – 2. Calcule
- 6.7148. Seja f a função de ℝ em ℝ definida por f(x) = x² – 3x + 4. Calcule
- 6.8149. Seja P o único número natural que é primo e par. Sendo f(x) = (0,25)^(-x) + x – 1, determine o valor de f(P)
- 6.9150. Seja f de ℝ em ℝ definida por f(x) = 1 se x é racional e f(x) = x + 1 se x é irracional. Calcule
- 6.10151. Seja f de ℝ em ℝ definida por f(x) = (2x – 3)/5. Qual é o elemento do domínio que tem -3/4 como imagem?
- 6.11152. Seja f de ℝ – {1} em ℝ definida por f(x) = (3x + 2)/(x – 1). Qual é o elemento do domínio que tem imagem 2?
- 6.12153. Quais são os valores do domínio da função real definida por f(x) = x² – 5x + 9 que produzem imagem igual a 3?
- 6.13154. A função f de ℝ em ℝ é tal que, para todo x real, f(3x) = 3f(x). Se f(9) = 45, calcule f(1)
- 6.14155. A função f: ℝ → ℝ tem a propriedade f(m · x) = m · f(x) para m real e x real. Calcule f(0)
- 6.15156. É dada uma função real tal que f(x)·f(y) = f(x + y), f(1) = 2 e f(√2) = 4. Calcule f(3 + √2)
- 6.16157. Seja f definida nos naturais tal que f(n + 1) = 2f(n) + 3. Supondo f(0) = 0, descubra a fórmula geral e prove por indução
- 6.17158. Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo
- 6.18161. Dê o domínio das seguintes funções reais
- 6.19162. Sendo x ≥ 4, determine o conjunto imagem da função y = √x + √(x – 4)
- 6.20164. Sejam f, g e h de ℝ em ℝ definidas por f(x) = x³, g(y) = y³ e h(z) = z³. Quais delas são iguais entre si?
- 6.21165. As funções f de ℝ em ℝ definida por f(x) = √(x²) e g de ℝ em ℝ definida por g(x) = x são iguais? Justifique
- 6.22166. As funções f e g cujas leis são f(x) = (x – 1)/(x + 1) e g(x) = (√x – 1)/(√x + 1) podem ser iguais? Justifique
- 6.23167. As funções f e g de A = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 0 ou x > 1} em ℝ, definidas por f(x) = (x+1)/(x²-x) e g(x) = √(x+1)/√(x²-x), são iguais? Justifique
- 6.24168. As funções f: ℝ → ℝ com f(x) = (x² – 1)/(x – 1) e g: ℝ – {1} → ℝ com g(x) = x + 1 são iguais? Justifique
- Vol. 1 · Cap. VI — Função constante e função afimExercícios 169 a 224 do FME vol. 112
- 7.1169. Construa o gráfico das funções de ℝ em ℝ: y = 2, y = √2, y = -3, y = 0
- 7.2170. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de ℝ em ℝ: y = x, y = 2x, y = 3x, y = x/2
- 7.3171. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de ℝ em ℝ: y = -x, y = -2x, y = -3x, y = -x/2
- 7.4172. Construa o gráfico cartesiano das funções de ℝ em ℝ: y = 2x – 1, y = x + 2, y = 3x + 2, y = (2x-3)/2, y = -3x – 4, y = -x + 1, y = -2x + 3, y = (4-3x)/2
- 7.5173. Resolva analítica e graficamente o sistema de equações: x – y = -3 e 2x + 3y = 4
- 7.6174. Resolva analítica e graficamente os sistemas de equações
- 7.7175. Resolva os sistemas de equações com incógnitas nos denominadores
- 7.8176. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2)
- 7.9177. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos: (2,3) e (3,5); (1,-1) e (-1,2); (3,-2) e (2,-3); (1,2) e (2,2)
- 7.10178. De uma caixa com bolas brancas e pretas retiraram-se 15 brancas, ficando 1 branca para 2 pretas; depois retiraram-se 10 pretas, restando 4 brancas para 3 pretas. Determine quantas bolas havia inicialmente
- 7.11179. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3)
- 7.12180. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2
- Vol. 1 · Cap. VII — Funções quadráticasExercícios 225 a 353 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Cap. VIII — Função modularExercícios 354 a 406 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Cap. IX — Outras funções elementaresExercícios 407 a 420 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Cap. X — Função composta e função inversaExercícios 421 a 512 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Ap. I — Equações irracionaisExercícios 513 a 552 do FME vol. 10
- Vol. 1 · Ap. II — Inequações irracionaisExercícios 553 a 568 do FME vol. 10
Conteúdo
122. Sejam os conjuntos A, B e C tais que A ⊂ B ⊂ C. Estabeleça as relações de inclusão entre os produtos cartesianos
Essa questão parece trabalhosa porque são nove produtos cartesianos, mas ela cai toda em cima de uma regra só. Vamos deduzir essa regra primeiro.
Suponha que 
e 
. Pega um par ordenado qualquer 
. Isso significa que 
e 
. Mas se , então 
; e se , então 
. Logo 
. Como o par era qualquer, concluímos:
![\[X \subset Z \ \text{ e } \ Y \subset W \ \Longrightarrow \ X \times Y \subset Z \times W\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55d7beeb9a4a1aa81035a0b0ae7113fe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ou seja: para comparar dois produtos cartesianos, basta comparar separadamente os dois fatores. Se o primeiro fator está contido no primeiro e o segundo está contido no segundo, o produto todo está contido.
Agora é só aplicar. Como o enunciado dá 
, temos 
, 
e, por transitividade, 
.
Fixando o primeiro fator e variando o segundo, sai uma cadeia para cada linha:
![\[A \times A \subset A \times B \subset A \times C\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-467ab824a74db6ecb3308c6900897e19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[B \times A \subset B \times B \subset B \times C\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac11e190af266d77770db4ec3e504c5c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[C \times A \subset C \times B \subset C \times C\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6682eb6cbc0f72528801a20ca78e42c4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fixando o segundo fator e variando o primeiro, sai uma cadeia para cada coluna:
![\[A \times A \subset B \times A \subset C \times A\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8afe8d785e56124ae3b208c78f97e2a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A \times B \subset B \times B \subset C \times B\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-114584e7d522d07689e90480a13ae2d5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A \times C \subset B \times C \subset C \times C\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0231b3820e1b5d8581d5f3a796808a05_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Juntando tudo, o menor de todos é 
, que está contido nos outros oito, e o maior de todos é 
, que contém os outros oito. Uma cadeia que vai de ponta a ponta é, por exemplo:
![\[A \times A \subset A \times B \subset B \times B \subset B \times C \subset C \times C\]](https://estudoemserie.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b06c53e7c192d14fb86a0706d8a81e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Uma observação importante para fechar: 
e 
não são comparáveis em geral. Para ter 
a gente precisaria de , que vale, e de 
, que não vale, a menos que 
. É o mesmo motivo pelo qual o produto cartesiano não é comutativo.