60. Determine a diferença simétrica de A com B

Bom galerinha, vamos resolver o exercício 60. Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença simétrica de A com B o conjunto A triângulo B (ou A delta B), definido por:

Na letra a, a gente tem os conjuntos A = {a,b,c,d} e B = {c,d,e,f,g}, e precisa determinar A delta B.

A gente sabe que A menos B é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B — ou seja, a gente tira do A todos os elementos que também estão em B, que são o c e o d. Sobra {a,b}.

E B menos A é o conjunto dos elementos que pertencem a B e não pertencem a A — nesse caso, sobra {e,f,g}.

Unindo os dois:

Na letra b, a gente precisa provar que A delta o vazio é igual ao próprio A, pra todo A. Usando a definição:

A menos o vazio não tira elemento nenhum de A, então sobra o próprio A. E o vazio menos A não tem elemento nenhum, então dá vazio. Unindo A com vazio, sobra o próprio A:

Na letra c, a gente precisa provar que A delta A é igual ao vazio, pra todo A. Usando a definição:

A menos o próprio A não sobra elemento nenhum, então dá vazio nos dois lados. Unindo vazio com vazio, continua vazio:

Na letra d, a gente precisa provar que A delta B é igual a B delta A, pra quaisquer A e B. Usando a definição:

A gente sabe que a união entre conjuntos é comutativa, ou seja, dá no mesmo fazer X união Y ou Y união X. Então a gente pode escrever:

E isso, por definição, é exatamente B delta A. Logo:

Pra fechar, ainda dá pra tirar duas conclusões interessantes olhando pro diagrama: se A está contido em B, então A menos B dá vazio, e a diferença simétrica fica só com B menos A:

E se A e B não têm nenhum elemento em comum, então a diferença simétrica é simplesmente a união dos dois, porque não existe intersecção pra tirar de nenhum dos lados: