114. Prove por indução a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo

Enunciado. Prove por indução finita que o número de diagonais de um polígono convexo de lados é

Aqui a indução sai da álgebra pura e passa a descrever uma construção geométrica — o passo consiste em acrescentar um vértice ao polígono e contar o que muda.

1ª etapa — a base. O menor polígono é o triângulo, então a base é , e não :

E de fato um triângulo não tem diagonais: quaisquer dois vértices são vizinhos, e o segmento entre eles é lado, não diagonal. Verdadeira.

2ª etapa — hipótese de indução. Supomos válida para um polígono de lados, com :

e queremos provar que, para lados:

O passo, contado no desenho. Ao acrescentar um vértice novo a um polígono de vértices, três coisas acontecem:

1. todas as diagonais antigas continuam sendo diagonais — ganhamos ;

2. um dos lados antigos vira diagonal, porque o vértice novo se interpõe entre suas pontas — ganhamos ;

3. do vértice novo partem diagonais para todos os vértices que não são seus dois vizinhos. Dos vértices antigos, dois viram vizinhos dele, sobrando novas diagonais.

Somando as três contribuições:

que é exatamente o esperado. Está provado para todo polígono convexo.

Conferência rápida: o quadrilátero tem diagonais, o pentágono tem , e o hexágono, . Dá para desenhar e contar.

Leitura direta da fórmula: de cada um dos vértices partem diagonais (todos os vértices menos ele mesmo e os dois vizinhos), e dividimos por 2 porque cada diagonal foi contada duas vezes, uma em cada ponta.