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Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 1
1
- 1.1
  Exercícios Resolvidos Volume 1 – Conjuntos e Funções
Vol. 1 · Cap. I — Noções de lógica
Exercícios 1 a 10 do FME vol. 1
10
Vol. 1 · Cap. II — Conjuntos
Exercícios 11 a 61 do FME vol. 1
51
Vol. 1 · Cap. III — Conjuntos numéricos
Exercícios 62 a 116 do FME vol. 1
55
Vol. 1 · Cap. IV — Relações
Exercícios 117 a 141 do FME vol. 1
25
Vol. 1 · Cap. V — Introdução às funções
Exercícios 142 a 168 do FME vol. 1
24
Vol. 1 · Cap. VI — Função constante e função afim
Exercícios 169 a 224 do FME vol. 1
12
Vol. 1 · Cap. VII — Funções quadráticas
Exercícios 225 a 353 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. VIII — Função modular
Exercícios 354 a 406 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. IX — Outras funções elementares
Exercícios 407 a 420 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. X — Função composta e função inversa
Exercícios 421 a 512 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. I — Equações irracionais
Exercícios 513 a 552 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. II — Inequações irracionais
Exercícios 553 a 568 do FME vol. 1
0

Resolução da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar

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Conteúdo

97. Determine a interseção dos conjuntos dados por condições sobre números reais

Enunciado. Determine:

$\mathbb{R} \cap \mathbb{Q}, \qquad (\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}) \cup \mathbb{Q}, \qquad \mathbb{N} \cup (\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q})$

A chave é uma cadeia só. Os conjuntos numéricos estão encaixados uns dentro dos outros:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

E quando um conjunto está contido no outro, as operações ficam triviais: a interseção é o menor e a união é o maior. Não é preciso mais nada além disso.

1) $\mathbb{R} \cap \mathbb{Q}$ . Como $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ , todo racional já é real. A interseção é o menor dos dois:

$\mathbb{R} \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$

2) $(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}) \cup \mathbb{Q}$ . Resolvemos de dentro para fora. Como $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ , o parênteses vale $\mathbb{N}$ . Depois, como $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$ , a união é o maior:

$(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}) \cup \mathbb{Q} = \mathbb{N} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$

3) $\mathbb{N} \cup (\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q})$ . De novo de dentro para fora. Como $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ , o parênteses vale $\mathbb{Z}$ . E como $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ , a união é o maior:

$\mathbb{N} \cup (\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q}) = \mathbb{N} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$

Respostas: $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{Z}$ , nessa ordem.

Repare no papel dos parênteses nos itens 2 e 3: os mesmos quatro conjuntos aparecem nos dois, mudando apenas onde a interseção age — e o resultado muda de $\mathbb{Q}$ para $\mathbb{Z}$ . União e interseção não se misturam livremente; a ordem das operações importa.

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97. Determine a interseção dos conjuntos dados por condições sobre números reais

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