129. Enumere os pares ordenados e faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}

Uma relação binária de $A$ em $B$ é simplesmente um subconjunto de $A \times B$ : você monta todos os pares possíveis e fica só com os que obedecem à condição dada.

Aqui $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ e $B = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\}$ . Presta atenção num detalhe que decide vários itens: o zero não pertence a $B$ . Sempre que a condição exigir $y = 0$ , o par simplesmente não existe.

O método é sempre o mesmo: fixa um $x$ , descobre quais $y$ satisfazem, e confere se esses $y$ estão mesmo em $B$ .

a) $xRy \Leftrightarrow x + y = 2$ , ou seja, $y = 2 - x$ .

Para $x = -2$ , $y = 4$ (está em $B$ ). Para $x = -1$ , $y = 3$ . Para $x = 0$ , $y = 2$ . Para $x = 1$ , $y = 1$ . Para $x = 2$ , $y = 0$ — e aqui o par cai fora, porque $0 \notin B$ .

$\{(-2,\,4),\ (-1,\,3),\ (0,\,2),\ (1,\,1)\}$

b) $xSy \Leftrightarrow x^2 = y$ . Basta elevar cada $x$ ao quadrado: $(-2)^2 = 4$ , $(-1)^2 = 1$ , $0^2 = 0$ (fora, de novo), $1^2 = 1$ , $2^2 = 4$ .

$\{(-2,\,4),\ (-1,\,1),\ (1,\,1),\ (2,\,4)\}$

Repara que $-1$ e $1$ levam ao mesmo $y = 1$ , e $-2$ e $2$ ao mesmo $y = 4$ . Dois elementos diferentes apontando para o mesmo destino: isso é permitido numa relação, e continuará sendo permitido numa função.

c) $xTy \Leftrightarrow |x| = |y|$ . Agora cada $x$ não nulo gera dois parceiros, o positivo e o negativo. Para $x = -2$ : $|y| = 2$ , então $y = 2$ ou $y = -2$ , ambos em $B$ . Mesma coisa para $x = -1, 1, 2$ . E $x = 0$ exigiria $y = 0$ , que não existe em $B$ .

$\{(-2,\,-2),\ (-2,\,2),\ (-1,\,-1),\ (-1,\,1),\ (1,\,-1),\ (1,\,1),\ (2,\,-2),\ (2,\,2)\}$

d) $xVy \Leftrightarrow x + y > 2$ , isto é, $y > 2 - x$ . Quanto maior o $x$ , mais folgada fica a exigência.

Para $x = -2$ : $y > 4$ , e o maior elemento de $B$ é 4 — nenhum par. Para $x = -1$ : $y > 3$ , só o 4. Para $x = 0$ : $y > 2$ , entram 3 e 4. Para $x = 1$ : $y > 1$ , entram 2, 3 e 4. Para $x = 2$ : $y > 0$ , entram 1, 2, 3 e 4.

$\{(-1,\,4),\ (0,\,3),\ (0,\,4),\ (1,\,2),\ (1,\,3),\ (1,\,4),\ (2,\,1),\ (2,\,2),\ (2,\,3),\ (2,\,4)\}$

No gráfico esses pontos formam um "degrau" subindo para a direita — é a marca visual de uma condição de desigualdade.

e) $xWy \Leftrightarrow (x - y)^2 = 1$ . Como o quadrado é 1, temos $x - y = 1$ ou $x - y = -1$ , ou seja, $y = x - 1$ ou $y = x + 1$ : os "vizinhos" de $x$ .

Para $x = -2$ : $y = -3$ ou $y = -1$ , ambos em $B$ . Para $x = -1$ : $y = -2$ ou $y = 0$ — só o $-2$ vale. Para $x = 0$ : $y = -1$ ou $y = 1$ . Para $x = 1$ : $y = 0$ (fora) ou $y = 2$ . Para $x = 2$ : $y = 1$ ou $y = 3$ .

$\{(-2,\,-3),\ (-2,\,-1),\ (-1,\,-2),\ (0,\,-1),\ (0,\,1),\ (1,\,2),\ (2,\,1),\ (2,\,3)\}$

No gráfico, esses pontos se organizam em duas diagonais paralelas, uma acima e outra abaixo da reta $y = x$ — exatamente as retas $y = x + 1$ e $y = x - 1$ .

Cada condição desenha um padrão próprio: reta, parábola amostrada, duas diagonais, região em degrau.

Resolução da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar

129. Enumere os pares ordenados e faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}

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