155. A função f: ℝ → ℝ tem a propriedade f(m · x) = m · f(x) para m real e x real. Calcule f(0)

De novo só temos uma propriedade, sem fórmula. E aqui vem uma diferença importante em relação ao exercício anterior: agora também é livre — a igualdade vale para qualquer par de reais e .

Isso nos dá liberdade total de escolha. E a escolha esperta é fazer :

Do lado esquerdo, para qualquer . Do lado direito, qualquer número multiplicado por zero dá zero. Então:

Pronto. Não precisou de nenhum dado numérico adicional: a propriedade sozinha obriga a função a passar pela origem.

Repara na elegância do argumento. Não sabemos absolutamente nada sobre — nem a fórmula, nem um valor sequer. Mesmo assim, escolher transformou uma identidade genérica numa resposta concreta.

Um detalhe que costuma passar batido: o lado direito é , e isso vale zero seja qual for , mesmo sem sabermos quanto é. Não é preciso conhecer o número para saber que zero vezes ele dá zero.

Funções com essa propriedade são chamadas homogêneas, e a única forma possível para elas em é — uma reta pela origem, que é exatamente a função linear do capítulo VI.