142. Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Justifique

Para um esquema de flechas definir uma função de em , ele precisa cumprir duas exigências, e as duas ao mesmo tempo:

1) Todo elemento de tem de partir uma flecha. Ninguém pode ficar sem imagem.
2) De cada elemento de pode partir uma flecha só. Ninguém pode ter duas imagens.

Repara que não há exigência nenhuma sobre o : elementos de podem ficar sem receber flecha, e podem receber várias. As restrições são todas do lado da partida.

a) A relação . As flechas são , e . O elemento está lá no conjunto , mas não sai flecha dele.

Falha a primeira exigência. Não define função, porque o elemento não está associado a nenhum elemento de .

b) A relação . Temos , , — e do elemento saem duas flechas, uma para o e outra para o .

Falha a segunda exigência. Não define função, porque o elemento está associado a dois elementos de .

c) A relação . As flechas são , , e . Todos os quatro elementos de partem, e cada um parte uma vez só.

Define função. O fato de as flechas se cruzarem no desenho não significa nada — cruzamento é acidente de layout, não de matemática.

d) A relação . Aqui os quatro elementos apontam para o mesmo destino: , , e .

Define função. É a função constante . Vários elementos de compartilharem a mesma imagem é perfeitamente permitido — o que não pode é o contrário, um elemento de ter várias imagens.

Guarda o resumo, que é o coração do capítulo: de cada ponto de partida sai exatamente uma flecha. Sem sobra e sem falta.