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Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 1
1
- 1.1
  Exercícios Resolvidos Volume 1 – Conjuntos e Funções
Vol. 1 · Cap. I — Noções de lógica
Exercícios 1 a 10 do FME vol. 1
10
Vol. 1 · Cap. II — Conjuntos
Exercícios 11 a 61 do FME vol. 1
51
Vol. 1 · Cap. III — Conjuntos numéricos
Exercícios 62 a 116 do FME vol. 1
55
Vol. 1 · Cap. IV — Relações
Exercícios 117 a 141 do FME vol. 1
25
Vol. 1 · Cap. V — Introdução às funções
Exercícios 142 a 168 do FME vol. 1
24
Vol. 1 · Cap. VI — Função constante e função afim
Exercícios 169 a 224 do FME vol. 1
12
Vol. 1 · Cap. VII — Funções quadráticas
Exercícios 225 a 353 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. VIII — Função modular
Exercícios 354 a 406 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. IX — Outras funções elementares
Exercícios 407 a 420 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. X — Função composta e função inversa
Exercícios 421 a 512 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. I — Equações irracionais
Exercícios 513 a 552 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. II — Inequações irracionais
Exercícios 553 a 568 do FME vol. 1
0

Resolução da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar

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Conteúdo

161. Dê o domínio das seguintes funções reais

Quando a função vem por fórmula, achar o domínio é responder: quais valores de $x$ produzem um resultado real? Praticamente tudo se resume a duas proibições:

1) Denominador não pode ser zero. 2) Radicando de raiz de índice par não pode ser negativo.

E uma liberação importante: raiz de índice ímpar aceita qualquer real, inclusive negativo, porque $\sqrt[3]{-8} = -2$ existe.

a) $f(x) = 3x + 2$ — polinômio, sem fração nem raiz. Nada proíbe nada:

$D = \mathbb{R}$

b) $g(x) = \frac{1}{x+2}$ — exige $x + 2 \neq 0$ :

$D = \mathbb{R} - \{-2\}$

c) $h(x) = \frac{x-1}{x^2-4}$ — exige $x^2 - 4 \neq 0$ , ou seja, $x \neq 2$ e $x \neq -2$ (lembra que $x^2 = 4$ tem duas soluções):

$D = \mathbb{R} - \{-2,\ 2\}$

d) $p(x) = \sqrt{x-1}$ — raiz quadrada, exige radicando $\geq 0$ :

$x - 1 \geq 0 \ \Longrightarrow \ D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1\}$

e) $q(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$ — as duas proibições juntas. A raiz pede $x + 1 \geq 0$ , mas ela está no denominador, então também não pode ser zero. Resultado: $x + 1 > 0$ , com desigualdade estrita:

$D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -1\}$

f) $r(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-2}$ — aqui a raiz está no numerador, então basta $x + 2 \geq 0$ (o zero é permitido). E o denominador pede $x \neq 2$ :

$D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -2 \ \text{e} \ x \neq 2\}$

Compara e) com f): a raiz aparece nas duas, mas o sinal muda de $>$ para $\geq$ conforme ela esteja embaixo ou em cima da fração.

g) $s(x) = \sqrt[3]{2x-1}$ — índice ímpar, nenhuma restrição:

$D = \mathbb{R}$

h) $t(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{2x+3}}$ — a raiz cúbica aceita tudo, mas está no denominador e não pode zerar:

$2x + 3 \neq 0 \ \Longrightarrow \ D = \mathbb{R} - \left\{-\frac{3}{2}\right\}$

i) $u(x) = \sqrt[3]{\frac{x+2}{x-3}}$ — a raiz cúbica não restringe nada, mas a fração dentro dela sim:

$D = \mathbb{R} - \{3\}$

O item i) é o teste final: quem confundir índice ímpar com par vai tentar resolver uma inequação e errar. A raiz cúbica não impõe condição alguma sobre o sinal.

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161. Dê o domínio das seguintes funções reais

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