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Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 1
1
- 1.1
  Exercícios Resolvidos Volume 1 – Conjuntos e Funções
Vol. 1 · Cap. I — Noções de lógica
Exercícios 1 a 10 do FME vol. 1
10
Vol. 1 · Cap. II — Conjuntos
Exercícios 11 a 61 do FME vol. 1
51
Vol. 1 · Cap. III — Conjuntos numéricos
Exercícios 62 a 116 do FME vol. 1
55
Vol. 1 · Cap. IV — Relações
Exercícios 117 a 141 do FME vol. 1
25
Vol. 1 · Cap. V — Introdução às funções
Exercícios 142 a 168 do FME vol. 1
24
Vol. 1 · Cap. VI — Função constante e função afim
Exercícios 169 a 224 do FME vol. 1
12
Vol. 1 · Cap. VII — Funções quadráticas
Exercícios 225 a 353 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. VIII — Função modular
Exercícios 354 a 406 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. IX — Outras funções elementares
Exercícios 407 a 420 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. X — Função composta e função inversa
Exercícios 421 a 512 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. I — Equações irracionais
Exercícios 513 a 552 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. II — Inequações irracionais
Exercícios 553 a 568 do FME vol. 1
0

Resolução da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar

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Conteúdo

119. Dados A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos

Produto cartesiano é combinar cada elemento do primeiro conjunto com cada elemento do segundo, sempre nessa ordem. O jeito de não esquecer nenhum par é fixar a primeira coordenada e varrer todas as segundas, depois passar para a próxima.

Com $A = \{1, 3, 4\}$ , $B = \{-2, 1\}$ e $C = \{-1, 0, 2\}$ :

a) $A \times B$ — 3 elementos vezes 2, então 6 pares:

$\{(1,\,-2),\ (1,\,1),\ (3,\,-2),\ (3,\,1),\ (4,\,-2),\ (4,\,1)\}$

b) $B \times A$ — também 6 pares, mas outros 6:

$\{(-2,\,1),\ (-2,\,3),\ (-2,\,4),\ (1,\,1),\ (1,\,3),\ (1,\,4)\}$

Compara a) com b): $(1, -2)$ está em $A \times B$ , e $(-2, 1)$ está em $B \times A$ . São pares diferentes. É por isso que o produto cartesiano não é comutativo: $A \times B \neq B \times A$ , embora os dois tenham a mesma quantidade de elementos. Nos gráficos isso fica evidente — um é o reflexo do outro pela diagonal.

c) $A \times C$ — 3 vezes 3, 9 pares:

$\{(1,\,-1),\ (1,\,0),\ (1,\,2),\ (3,\,-1),\ (3,\,0),\ (3,\,2),\ (4,\,-1),\ (4,\,0),\ (4,\,2)\}$

d) $C \times A$ :

$\{(-1,\,1),\ (-1,\,3),\ (-1,\,4),\ (0,\,1),\ (0,\,3),\ (0,\,4),\ (2,\,1),\ (2,\,3),\ (2,\,4)\}$

e) $B^2 = B \times B$ — 2 vezes 2, 4 pares:

$\{(-2,\,-2),\ (-2,\,1),\ (1,\,-2),\ (1,\,1)\}$

f) $C^2 = C \times C$ — 9 pares:

$\{(-1,\,-1),\ (-1,\,0),\ (-1,\,2),\ (0,\,-1),\ (0,\,0),\ (0,\,2),\ (2,\,-1),\ (2,\,0),\ (2,\,2)\}$

Nos quadrados $B^2$ e $C^2$ aparece uma simetria: como os dois fatores são iguais, sempre que $(x, y)$ está no conjunto, $(y, x)$ também está. No gráfico, os pontos ficam espelhados em relação à diagonal, e os pares de coordenadas iguais — $(-2,-2)$ , $(1,1)$ , $(0,0)$ — caem exatamente sobre ela.