70. Quais das seguintes proposições, envolvendo números racionais, são verdadeiras?

Enunciado. Quais das proposições abaixo, envolvendo números racionais, são verdadeiras?

O conjunto é formado por tudo que se escreve como fração de inteiros com denominador não nulo:

A armadilha desta lista está nos itens com : para estar nesse conjunto o número precisa ser racional e não ser inteiro. Vale sempre simplificar antes de decidir.

a) — verdadeira. Todo natural se escreve como .

b) — verdadeira. Mesmo argumento, agora com os negativos.

c) — verdadeira. . O que não pode é zero no denominador.

d) — verdadeira. .

e) — verdadeira. É uma dízima periódica, e toda dízima periódica tem fração geratriz. Aqui, .

f) — verdadeira. Os dois elementos são frações de inteiros.

g) — falsa. O 1 é racional, mas também é inteiro — e exclui os inteiros.

h) — verdadeira. É racional e a divisão não é exata, então não é inteiro.

i) — falsa. Aqui é preciso simplificar: , que é inteiro. Cara de fração não basta.

j) é irredutível — falsa. Numerador e denominador têm o fator 7 em comum: .

k) — verdadeira. Comparando por multiplicação cruzada, com os denominadores positivos:

Como , a desigualdade é verdadeira.

l) — verdadeira. Se , então , e continua inteiro.

Resposta: são verdadeiras a, b, c, d, e, f, h, k e l.