134. Estabeleça o domínio e a imagem das relações binárias do exercício 129

Retomando as cinco relações do exercício 129, de em . O domínio é o conjunto das primeiras coordenadas efetivamente usadas; a imagem, o das segundas.

O ponto central deste exercício: domínio não é a mesma coisa que conjunto de partida. O é o conjunto de partida, mas só entra no domínio o que conseguiu formar ao menos um par. Quem ficou sem parceiro fica de fora.

a)

O não aparece no domínio: ele exigiria , e o zero não pertence a .

b)

Aqui é a imagem que encolhe: quatro pares produzem apenas dois valores distintos, porque e levam ao mesmo destino, e e também.

c)

Domínio e imagem coincidem, e faz sentido: a condição é simétrica, então se está na relação, o par trocado também estaria, desde que ambos caibam nos conjuntos.

d)

O fica fora do domínio porque precisaria de , e o teto de é justamente 4.

e)

Este é o único caso em que o domínio é todo o conjunto de partida: como cada tem dois vizinhos possíveis, sempre sobrou pelo menos um dentro de .

Guarda essa comparação, porque ela reaparece com outro nome no capítulo V: quando o domínio coincide com o conjunto de partida e cada se liga a exatamente um , a relação ganha o nome de função. Das cinco aqui, nenhuma cumpre as duas exigências ao mesmo tempo — a tem domínio completo mas associa dois a alguns ; a associa um só, mas seu domínio não cobre o .