68. Sendo a e b dois números inteiros, responda sobre divisores e múltiplos comuns

Enunciado. Sendo e dois números inteiros, responda aos seis itens abaixo.

Todos eles giram em torno de duas ideias: a interseção de divisores puxa o mdc, e a interseção de múltiplos puxa o mmc. Vale ter isso à mão antes de começar.

a) e podem ser disjuntos?

Não. O número 1 divide qualquer inteiro, então está em e em , quaisquer que sejam e :

Basta um elemento em comum para a interseção não ser vazia. Na verdade sempre há pelo menos dois, porque também divide todo mundo.

b) Que nome se dá a um inteiro tal que ?

Esse é um máximo divisor comum de e . Em ele vem em par, com os dois sinais: .

c) Quando , qual é a relação entre e ?

Se os únicos divisores comuns são e , os dois não compartilham nenhum fator além do trivial. Dizemos que e são primos entre si:

Cuidado com a confusão clássica: ser primo entre si não exige que e sejam primos. 8 e 9 são primos entre si, e nenhum dos dois é primo.

d) Em que caso ocorre ?

Quando todo múltiplo de também é múltiplo de — e isso acontece exatamente quando é múltiplo de . Por exemplo, , porque 12 é múltiplo de 4.

e) Em que caso ocorre ?

A interseção dos múltiplos é sempre . Para que ela seja , precisamos que o mmc seja o próprio produto — e isso só vale quando não há fator repetido entre os dois, ou seja, quando e são primos entre si.

Um contraexemplo deixa claro: com e , o mmc é 12 e não 24, porque o fator 2 aparece nos dois.

f) Que nome se dá a um inteiro tal que ?

Esse é um mínimo múltiplo comum de e , também em par: .