55. Sabendo que A e B são subconjuntos de U, quantos elementos tem A? E B?

E aí, pessoal, vamos resolver mais esse exercício, o 55. Ele diz que A e B são subconjuntos de U, e dá três informações: o complementar de A é o conjunto {e, f, g, h, i}, a interseção de A com B é {c, d}, e a união de A com B é {a, b, c, d, e, f}. A pergunta é: quantos elementos tem A? E quantos tem B?

Vamos lembrar rapidinho o que é cada coisa. O complementar de A é formado por todos os elementos que estão no conjunto universo mas não estão em A. A interseção de A com B são os elementos que estão nos dois ao mesmo tempo. E a união de A com B são todos os elementos que estão em A ou em B, ou nos dois.

Repara numa coisa: como e, f, g, h, i não pertencem a A (porque estão no complementar de A), mas e f pertencem à união de A com B, isso só pode significar uma coisa: e e f não estão em A, então eles têm que estar em B.

Agora, sobre a interseção: A ∩ B = {c, d} nos diz que c e d pertencem tanto a A quanto a B.

Olhando pra união inteira, A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}, e já sabemos que e e f vêm só de B. Então o que sobra, que é {a, b, c, d}, precisa vir de A (ou de A e B juntos). Como c e d já sabemos que estão em A por causa da interseção, faltam a e b, que só podem pertencer a A, já que não aparecem nem no complementar de A nem foram associados a B.

E juntando o que já sabemos sobre B, que tem c, d (da interseção) e também e, f (que vieram da união), a gente fecha o conjunto B:

Então, contando os elementos de cada um:

Portanto, tanto A quanto B têm 4 elementos cada um.