168. As funções f: ℝ → ℝ com f(x) = (x² – 1)/(x – 1) e g: ℝ – {1} → ℝ com g(x) = x + 1 são iguais? Justifique

Não são iguais — e desta vez o motivo não está na lei, e sim no domínio.

Começando pela lei: fatorando o numerador pela diferença de quadrados, . Então, para :

Ou seja, onde as duas existem, elas fazem exatamente a mesma coisa. A simplificação é legítima porque só cancelamos sabendo que ele não é zero.

O problema está em . O enunciado declara com domínio , mas ali a expressão vira

que não é número nenhum. Então não pode ter como domínio — existe um elemento sem imagem, e isso viola a definição de função.

Já a foi declarada com domínio , que exclui o ponto problemático. Ela está bem definida.

Como duas funções só são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma lei, a diferença nos domínios já resolve: .

A moral, que vale para o livro inteiro: simplificar a expressão não devolve o ponto perdido. Se fosse redefinida com domínio , aí sim seria idêntica a . No gráfico, é a mesma reta de , mas com um "furo" em .