158. Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo

Num esquema de flechas, a leitura é direta:

o domínio é o conjunto dos elementos de onde parte flecha;
a imagem é o conjunto dos elementos onde chega flecha.

Como todos os esquemas aqui já são funções, o domínio coincide com o conjunto de partida inteiro — ninguém fica sem flecha. A graça está na imagem, que em geral é menor que o conjunto de chegada.

a) A função . As flechas são , e .

Repara que o elemento do conjunto de chegada não recebeu flecha nenhuma — e isso é permitido. Ele fica de fora da imagem.

b) A função . As flechas são , , e .

Aqui quatro elementos partem, mas só dois chegam: o recebe duas flechas e o também. Elemento de chegada receber várias flechas é permitido — o que a definição proíbe é elemento de partida soltar várias.

Note ainda que o do conjunto de chegada ficou sem receber nada, então não entra na imagem.

c) A função . O caso extremo: as três flechas apontam para o mesmo lugar, , e .

É uma função constante, e a imagem tem um elemento só. Compare com o item d) do exercício 142, que tinha exatamente essa cara.

d) A função . As flechas são , , e .

Aqui cada flecha vai para um destino diferente, então a imagem tem quatro elementos, o mesmo tamanho do domínio. Sobrou de fora apenas o do conjunto de chegada.

O padrão que vale a pena guardar. A imagem nunca é maior que o domínio — no máximo empata, quando cada elemento vai para um destino distinto, como em d). Ela encolhe sempre que dois elementos compartilham a mesma imagem, como no b) e, de forma máxima, no c).

Essa comparação entre tamanho do domínio e da imagem ganha nome próprio no capítulo X: função que não repete imagem é injetora, e função cuja imagem cobre todo o contradomínio é sobrejetora. Das quatro aqui, só a é injetora, e nenhuma é sobrejetora.