25. Classifique em V ou F envolvendo A, B e C conjuntos quaisquer

Enunciado. Classifique em V ou F, admitindo que , e são conjuntos quaisquer:

O ponto central: “quaisquer”. Uma sentença só é verdadeira se valer para todos os conjuntos possíveis. Para derrubar uma, basta um contraexemplo. É nisso que os itens b e c caem.

a) — V. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. A justificativa formal: para negar a inclusão seria preciso exibir um elemento do vazio que não estivesse na união, e o vazio não tem elemento algum.

b) — F. A união é sempre pelo menos tão grande quanto ; ela só caberia dentro de se não trouxesse nada de novo. Contraexemplo: com e , temos , e o elemento 2 não está em .

c) — F. É a mesma afirmação do item b, escrita ao contrário: “ contém a união” é o mesmo que “a união está contida em ”. O mesmo contraexemplo serve.

d) — V. Todo conjunto está contido em si mesmo. A definição de admite igualdade — e é por isso que este item é verdadeiro, ainda que pareça pegadinha.

e) — V. Se , então é verdade que ou — basta uma das duas para pertencer à união. Vale para todo , logo a inclusão é verdadeira.

f) — V. Acrescentar à união só pode aumentar o conjunto, nunca diminuir. Tudo que já estava continua lá.

Resposta: a) V   b) F   c) F   d) V   e) V   f) V.

O que fica do exercício: a união só cresce. Formalmente, e valem sempre — e as inclusões no sentido contrário, só em casos particulares.