140. Enumere os elementos e esboce os gráficos de R e R⁻¹, relações binárias em A = {x ∈ ℕ | x ≤ 10}

Aqui , e a regra da inversa é sempre a mesma: troca as coordenadas de cada par. Graficamente, isso equivale a refletir o desenho na reta .

a)

Percorrendo de 0 a 8 (de 9 em diante o ficaria negativo e sairia de ):

Invertendo, vira , vira , e assim por diante — mas todos esses pares já estavam em . Ou seja, .

O motivo é que a condição é simétrica: trocar por não muda a equação. Os pontos caem sobre uma reta perpendicular a , e refletir não desloca nada.

b)

Isolando, , que só dá inteiro quando é par:

Agora a inversa é diferente da original, porque não é simétrica — o 2 multiplica só o .

c)

É uma parábola de vértice em : , , , , , , . De em diante o passaria de 10.

Aqui aparece algo importante: na inversa, o valor está ligado a dois diferentes (2 e 4), e o também. Isso acontece porque a parábola repetia valores de — ela sobe dos dois lados do vértice. É exatamente por esse motivo que uma função quadrática não tem inversa sem antes restringir o domínio.

d)

O crescimento exponencial estoura rápido: , , , , e já daria 16, fora de .

Essa inversa tem nome: é o logaritmo na base 2, restrito às potências exatas. E, ao contrário do item c), aqui cada aparece uma vez só — por isso a exponencial tem inversa de verdade, assunto do volume 2 da coleção.