144. Quais das relações de ℝ em ℝ, cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justifique

Existe um teste visual que decide isso na hora, e ele vem direto da definição: cada do domínio precisa ter uma e só uma imagem.

Traduzindo para o gráfico — o teste da reta vertical:

Passe uma reta vertical por cada ponto do eixo . Para ser função de em , toda vertical tem de cruzar o gráfico em exatamente um ponto. Cruzar em dois ou mais significa que aquele tem várias imagens; não cruzar em nenhum significa que aquele ficou sem imagem. Os dois casos derrubam a definição.

a) A reta inclinada. Qualquer vertical corta a reta uma única vez, e isso vale para todo real. É função.

b) A parábola deitada. Ela abre para a direita. Uma vertical traçada à direita do vértice corta a curva em dois pontos — um no ramo de cima e outro no de baixo. Não é função, porque esses teriam duas imagens.

Repara que a parábola "em pé" do item d) não tem esse problema. O que estraga não é ser parábola, é a orientação.

c) Os dois ramos separados. O gráfico existe para e para , mas não existe entre e . Uma vertical traçada em , por exemplo, não encontra o gráfico em lugar nenhum. Não é função de em , porque esses ficaram sem imagem.

Vale a ressalva: ela seria função se o domínio declarado fosse . O problema não está na curva, está na incompatibilidade com o domínio que o enunciado exige.

d) A parábola em pé. Abre para cima, e toda vertical a corta uma vez só. É função.

e) A reta com bolinha aberta emendando numa curva. O detalhe decisivo é a bolinha vazada no fim do trecho reto: ela avisa que aquele ponto não pertence ao gráfico. Por isso não há duplicidade na emenda, e cada mantém uma única imagem. É função.

Bolinha cheia significa "pertence"; bolinha vazada significa "não pertence". Numa função definida por várias sentenças, é essa marcação que garante que não haja dois valores no ponto de troca — assunto do capítulo VIII.

f) A reta vertical. É o pior caso possível. A vertical traçada sobre ela coincide com o gráfico inteiro, cortando em infinitos pontos; e qualquer outra vertical não encontra nada. Não é função por dois motivos ao mesmo tempo.

Resumo: são funções os itens a), d) e e).