81. Prove que, se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b√p = c + d√p, então a=c e b=d

Enunciado. Prove que, se , , e são racionais, é primo positivo e , então e .

Este resultado é mais útil do que parece: é ele que autoriza, mais adiante, “igualar as partes racionais e as partes irracionais” dos dois lados de uma equação — um passo que a gente usa sem pensar e que precisa ser justificado.

Ponto de partida. Reorganizamos a igualdade juntando de um lado o que tem radical e do outro o que não tem:

A observação central. Do lado direito temos , que é diferença de racionais e portanto racional. Então o lado esquerdo também tem que ser racional.

Suponha, por absurdo, que . Nesse caso podemos isolar:

O lado direito é quociente de dois racionais com denominador não nulo, logo é racional. Isso diria que é racional — e é falso, porque a raiz quadrada de um primo positivo é sempre irracional. Contradição.

Conclusão em duas etapas. Como a suposição levou a um absurdo:

E, voltando à igualdade reorganizada com , o lado esquerdo zera:

Está provado.

Onde a hipótese de ser primo entra: ela garante que seja irracional. Se fosse 4, por exemplo, seria racional e o resultado deixaria de valer — bastaria comparar com para ter dois pares diferentes dando o mesmo valor.