53. Determine o conjunto complementar de P ∩ (P ∪ Q)

Beleza, pessoal, vamos resolver esse exercício 53. A questão pede pra gente determinar o conjunto complementar de P interseção com (P união Q), ou seja, o complementar de P ∩ (P ∪ Q).

Repara numa coisa: se a gente pensar num diagrama, o conjunto P inteiro já está contido dentro de P união Q, porque P união Q é tudo que está em P, ou em Q, ou nos dois. Então a intersecção de P com (P ∪ Q) não pode ser maior do que o próprio P, na verdade ela é exatamente igual a P. Essa é a chamada propriedade de absorção:

Repara que faz sentido: se um elemento pertence a P e também precisa pertencer a P união Q, como todo elemento de P já pertence automaticamente a P união Q, essa segunda condição não elimina nada. Então sobra só a condição de pertencer a P mesmo.

Sabendo disso, a expressão que a gente queria complementar fica bem mais simples:

Ou seja, o complementar de P interseção com (P união Q) é simplesmente o complementar de P, que a gente representa por P linha. Lembrando: P linha é tudo que está no conjunto universo e não pertence a P. Se você pega P e P linha e junta os dois, cobre o conjunto universo inteiro, e se intersecta os dois dá vazio, porque um é exatamente o que sobra do outro.

Então a resposta final desse exercício é P linha.