48. Prove que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

E aí, pessoal, deixa eu ver aqui. A gente tem A e B, dois conjuntos finitos, e a gente tem que provar que:

Galera, para calcular o número de elementos da união, o número de elementos de um conjunto, é só somar os dois. Beleza, então aqui tá correto a união com B, mas a gente tem também que tirar os elementos que são comuns aos dois. Então, quando a gente tem a intersecção entre A e B, a gente tem os elementos x tal que:

Quando a gente faz a soma, você já deve ter percebido, através dos exercícios que a gente realizou anteriormente, que quando a gente realiza a soma entre dois conjuntos, os elementos que são comuns aos dois não são repetidos. Então, portanto, a gente tem que escrever as coisas assim: quando a gente faz a união entre A e B, a gente tem os elementos x tal que x está em A ou x está em B, e aí é necessário que a gente tire os elementos que são comuns aos dois, porque os elementos dentro de um conjunto não se repetem, então não dá para contar aquele lá como um elemento a mais.

Vou deixar aqui um exemplo: a gente tem o conjunto A e o conjunto B. Se a gente for fazer a união entre esses dois conjuntos, a gente vai ter um terceiro conjunto, composto pelos elementos de A e de B. Então, o que a gente teve que fazer? A gente teve que tirar os elementos que são comuns, a gente teve que tirar a intersecção entre A e B — ou seja, a gente tira o número de elementos que dá na intersecção entre A e B.

Basicamente, isso aqui é só mais um trabalho de escrever tudo isso na mão, mas você também pode usar símbolos para escrever isso. Fica assim:

Esse professor vai adorar. Fique com Deus e até o próximo vídeo!