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Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 1
1
- 1.1
  Exercícios Resolvidos Volume 1 – Conjuntos e Funções
Vol. 1 · Cap. I — Noções de lógica
Exercícios 1 a 10 do FME vol. 1
10
Vol. 1 · Cap. II — Conjuntos
Exercícios 11 a 61 do FME vol. 1
51
Vol. 1 · Cap. III — Conjuntos numéricos
Exercícios 62 a 116 do FME vol. 1
55
Vol. 1 · Cap. IV — Relações
Exercícios 117 a 141 do FME vol. 1
25
Vol. 1 · Cap. V — Introdução às funções
Exercícios 142 a 168 do FME vol. 1
24
Vol. 1 · Cap. VI — Função constante e função afim
Exercícios 169 a 224 do FME vol. 1
12
Vol. 1 · Cap. VII — Funções quadráticas
Exercícios 225 a 353 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. VIII — Função modular
Exercícios 354 a 406 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. IX — Outras funções elementares
Exercícios 407 a 420 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Cap. X — Função composta e função inversa
Exercícios 421 a 512 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. I — Equações irracionais
Exercícios 513 a 552 do FME vol. 1
0
Vol. 1 · Ap. II — Inequações irracionais
Exercícios 553 a 568 do FME vol. 1
0

Resolução da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar

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Conteúdo

101. Prove por indução finita que 1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6

Enunciado. Prove por indução finita que

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$

É a soma dos quadrados dos $n$ primeiros naturais. A fórmula parece arbitrária, mas a indução não exige que a gente saiba de onde ela veio — exige apenas que a gente verifique que ela se sustenta de um passo para o seguinte.

1ª etapa — a base $P(1)$ . Com $n = 1$ , o lado esquerdo é $1^2 = 1$ . O lado direito:

$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Confere.

2ª etapa — hipótese de indução. Admitimos válida para $n = k$ :

$P(k): \quad 1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

e queremos chegar em:

$1^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Note como o lado direito se forma: onde havia $k$ , entra $k+1$ — então $(k+1)$ vira $(k+2)$ e $(2k+1)$ vira $(2k+3)$ .

O passo. Substituindo a hipótese e somando o novo termo:

$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$

Colocando $(k+1)$ em evidência no numerador:

$= \frac{(k+1)\left[k(2k+1) + 6(k+1)\right]}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$

Fatorando o trinômio, cujas raízes são $-2$ e $-\frac{3}{2}$ :

$2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$

Logo:

$= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

exatamente o que queríamos. Está provado. $\blacksquare$

Conferência numérica rápida, que vale sempre a pena antes de entregar: com $n = 3$ , a soma é $1 + 4 + 9 = 14$ , e a fórmula dá $\frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14$ .

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