Números Naturais (pares, impares, sucessor, antecessor)

Números Naturais

Nessa aula você irá aprender:

1. O que são os números naturais?
2. O que é a reta numérica?
3. O que é antecessor e sucessor?
4. Quais são os sinais de comparação?
5. Padrões e sequências nos números naturais:
   1. Como é dado a sequência de números pares?
   2. Como é dado a sequência de números impares?

Separamos os números por conjuntos para facilitar o estudo deles. O primeiro e mais famoso é o conjunto dos números naturais. Usamos esse conjunto para contar objetos, pessoas ou dias. Este conjunto é representado pela letra ℕ:

ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }

As reticências (…) indicam que a sequência é infinita, ou seja, não tem fim. Sempre podemos somar mais 1 e encontrar o próximo número.

Conceitos Importantes

Sucessor e Antecessor:

Sucessor: É o número que vem imediatamente depois. (Ex: O sucessor de 15 é 15 + 1 = 16).

Antecessor: É o número que vem imediatamente antes. (Ex: O antecessor de 15 é 15 – 1 = 14).

Veja como essa regra funciona na prática:

Números Consecutivos: São números que vêm um logo após o outro. Exemplo: 24, 25 e 26 são consecutivos.

Reta Numérica

Podemos organizar esses números em uma linha reta, onde eles aumentam da esquerda para a direita. Essa representação ajuda a visualizar a ordem dos números.

• O sucessor de um número é aquele que vem imediatamente depois dele na reta numérica. Para encontrá-lo, basta adicionar 1 unidade (+1).
• O antecessor de um número é aquele que vem imediatamente antes dele. Para encontrá-lo, basta subtrair 1 unidade (-1).

Sinais de Comparação

Na matemática, usamos símbolos para comparar quantidades:

Par ou Ímpar?

• Pares: Terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Ímpares: Terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9.

Padrões e Sequências no Conjunto dos Naturais

a) A Sequência dos Números Pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, …

Observe a correspondência na tabela a seguir:

Repare que para todo número natural existe um número par associado a ele. Em termos matemáticos, dizemos que o número par é estabelecido em função de um determinado número natural. Como destacado na tabela, o 4 é gerado pelo 2; o 14 é gerado pelo 7; e o 20 é gerado pelo 10.

A regra de transformação ocorre da seguinte maneira:

Para generalizar essa ideia, vamos usar a letra n para representar um número natural genérico. O seu dobro será sempre 2n.

Sendo assim, a expressão algébrica 2n é a lei de formação que representa qualquer número par, assumindo que n pertença ao conjunto dos números naturais.

b) A Sequência dos Números Ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, …

Analisando a próxima tabela, notamos uma lógica estrutural semelhante:

A correspondência aqui nos mostra que cada número natural produz um número ímpar específico e exclusivo. Ou seja, cada número ímpar também pode ser descrito em função de um número natural.

Observe que onde deveriamos ter um número par temos o sucessor dele. Ou seja, um número par mais 1.

Sendo assim, a expressão 2n + 1 atua como a fórmula geradora universal para descrever qualquer número ímpar, considerando novamente que n é um número natural.

■ As etapas de resolução de um problema

Diante de um problema (uma situação a ser resolvida), é fundamental seguir um roteiro que nos auxilie a determinar a solução de forma organizada.

Analise, a seguir, dois exemplos detalhados aplicando essas etapas.

Exercícios

1. 1. Responda às perguntas abaixo:
      1. Determine o número que sucede imediatamente o 199.
      2. Qual número antecede o 1010?
      3. No conjunto dos números naturais (ℕ), existe algum elemento que não possui antecessor? Se sim, indique qual é.
   2. Organize as seguintes sequências numéricas conforme solicitado:
      1. Coloque os valores 1006, 209, 1060 e 290 em ordem crescente (do menor para o maior).
      2. Posicione os valores 425, 542, 254, 524, 452 e 245 em ordem decrescente (do maior para o menor).
   3. Determine o que se pede em cada item a seguir:
      1. Uma sequência formada por três números pares consecutivos que sejam maiores que 100 e menores que 110.
      2. Uma sequência de cinco números ímpares consecutivos localizados no intervalo maior que 500 e menor que 510.
      3. O conjunto formado por todos os números pares partindo do 18 até o 28 (inclusive).
      4. O conjunto contendo os números ímpares compreendidos entre o 45 e o 61.
   4. Compare os números abaixo substituindo o espaço pelo símbolo matemático correto: maior (>) ou menor (<).
      1. 27 _______ 35
      2. 169 _______ 167
      3. 4099 _______ 4100
      4. 5001 _______ 5000
   5. Observe a reta numérica graduada a seguir. Transcreva-a e localize corretamente onde devem ficar os números: 158, 161, 167, 170 e 179.
   6. Complete a cadeia de desigualdades encaixando os números 7770, 7007 e 7700 nos espaços adequados de modo que a afirmação matemática seja verdadeira:

      7000 < ________ < 7077 < ________ < 7707 < ________ < 7777

   7. As três principais pirâmides do planalto de Gizé, no Egito, são Quéops, Quéfren e Miquerinos. Suas alturas aproximadas medem, respectivamente, 146 metros, 143 metros e 62 metros.Analisando exclusivamente esses três valores numéricos (146, 143 e 62), indique qual deles:
      1. Representa o sucessor do número 142.
      2. É o menor número com characteristic par.
      3. Equivale ao número 140 somado a 6 unidades.
      4. Representa o valor intermediário (está localizado entre os outros dois números).

1. Utilizando o conceito de palíndromos visto na curiosidade acima, copie as afirmações preenchendo as lacunas corretamente.
   1. Analisando os números 226, 622 e 262, percebemos que o único número palíndromo é o ________.
   2. O único número palíndromo que é maior do que 7500 e, ao mesmo tempo, menor do que 7600 é o ________.
2. Observe a reta numérica abaixo e responda:
   

   Que número natural é representado pela letra X?

   1. Qual é o sucessor do número representado pela letra Y?
   2. O número Y é par ou ímpar?
3. Responda:
   1. Qual é o sucessor de 10 099?
   2. Qual é o antecessor de 50 000?
   3. Qual é o sucessor do sucessor de 399?
   4. Qual é o antecessor do sucessor de 1 500?
4. Analise a sequência de números abaixo:

   78,   79,   80,   81,   82,   83,   84

   1. Quantos números pares aparecem nessa sequência? Quais são eles?
   2. Qual é o maior número ímpar dessa sequência?
5. Classifique as sentenças abaixo como Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
   1. (    ) 105 > 150
   2. (    ) 43 ≠ 34
   3. (    ) 20 + 5 = 25
   4. (    ) 99 < 100
   5. (    ) O antecessor de 10 é 11.
   6. (    ) 8 é um número par.
6. João está criando uma lista com todos os números de dois algarismos que ele pode formar usando apenas os algarismos do ano 2034 (ou seja: 0, 2, 3 e 4).Por exemplo: ele pode escrever 23 e 40, mas não pode escrever 03 (pois não é de dois algarismos) nem 52 (pois o 5 não está na lista).Quantos números diferentes João pode formar?
   1. 9
   2. 10
   3. 12
   4. 16
7. (Saeb) Qual é o maior número que você pode escrever usando os algarismos 8, 9, 1, 5 e 7 sem repeti-los?
   1. 91875
   2. 98715
   3. 98751
   4. 97851
8. (Saresp) No número 1372, foi colocado um zero entre os algarismos 3 e 7. Pode-se afirmar que, no novo número representado, o valor do algarismo 3 ficou:
   1. dividido por 1.
   2. dividido por 10.
   3. multiplicado por 10.
   4. multiplicado por 100.
9. (Prova Brasil) O litoral brasileiro tem cerca de 7500 quilômetros de extensão. Esse número possui quantas centenas?
   1. 5
   2. 75
   3. 500
   4. 7500
10. (Saresp) Usando os algarismos 1, 2 e 3, sem repetir nenhum, é possível formar:
    1. dois números de três algarismos.
    2. três números de três algarismos.
    3. quatro números de três algarismos.
    4. seis números de três algarismos.
11. (Obmep) Cláudia inverteu as posições de dois algarismos vizinhos no número 682479 e obteve um número menor. Quais foram esses algarismos?
    1. 6 e 8
    2. 8 e 2
    3. 2 e 4
    4. 4 e 7
    5. 7 e 9
12. (Saeb) Na reta numérica a seguir, o ponto P representa o número 960 e o ponto U representa o número 1010.
    

    Em qual ponto está localizado o número 990, sabendo que a diferença entre o valor de um ponto e o valor de outro ponto consecutivo é 10 unidades?

    1. T
    2. S
    3. R
    4. Q
13. (Prova Brasil) O final do ano, os alunos de D. Célia fizeram uma pesquisa na sala para saber onde cada um ia passar as férias. Cada aluno podia escolher um só lugar. Este gráfico mostra o resultado da pesquisa.

    Qual dos locais foi o menos escolhido pelos alunos para passarem as férias?

    1. Casa.
    2. Fazenda do tio.
    3. Praia.
    4. Sítio da vovó.
14. (Saeb) Usando somente os algarismos 2, 5 e 8, sem repetição, escrevi todos os números de três algarismos possíveis. O maior número que escrevi foi:
    1. 528.
    2. 258.
    3. 825.
    4. 852.
15. (Prova Brasil) A tabela abaixo mostra as altitudes de algumas cidades, em relação ao nível do mar. Altitudes acima de 2600 m provocam dor de cabeça e falta de ar nas pessoas que não estão acostumadas.
    

    Cidade	Altitude
    Rio de Janeiro	0 m
    São Paulo	750 m
    Belo Horizonte	1150 m
    Cidade do México	2240 m
    Quito	2850 m

    Em qual dessas cidades as pessoas poderão sentir dor de cabeça e falta de ar devido à altitude?

    1. Rio de Janeiro.
    2. Cidade do México.
    3. São Paulo.
    4. Quito.